LAS TRIVIALIDADES DEL RIGOR.

¿Por qué no admitir honestamente la dignidad del conocimiento falible contra el escepticismo cínico, en vez de hacernos la ilusión de que podremos remendar, hasta hacerlo invisible, el último desgarrón en la tela de nuestras intuiciones «últimas»?

I. Lakatos

Como vimos, la actividad científica no es indiferente a modas -entendiendo por moda una periódica sensación de aburrimiento ante lo usual. Con todo, ni cambios de paradigma ni tránsitos de una escuela a otra suelen cuestionar la pureza del saber matemático, que se presenta como una virgen hija de otra virgen. Se diría algo transhistórico, que representa una garantía única pero suficiente contra el error. No es una precaria balsa como el resto de la experiencia, a la deriva entre dudas y sectarismo, sino la roca austera e inconmovible que sostiene una razón libre de ídolos. Puede por eso decirse que la naturaleza del conocimiento científico es superior -y distinta- a la naturaleza del acervo mítico. Como dijo Lord Kelvin, «la matemática es la única metafísica aceptable».

Semejante suposición sostiene a la Ciencia con mayúscula. No obstante, si miramos de cerca el ser siempre igual a sí mismo que sería la matemática (del griego mathéma, «cosa aprendida»), vemos enseguida que es también saber mundano, ligado a nociones no formalizadas. Estudios sobre diversas aritméticas -por ejemplo la china, la griega clásica y la helenística25 -así lo ponen de manifiesto. La resta 0-A, por ejemplo, repugna a Euclides como intento de sustraer algo positivo (A) de nada (0); sin embargo, en Extremo Oriente los textos dicen, desde bastante antes, que un número positivo (zheng) restado de nada (wu) se hace negativo (fu), indicando que 0-A= -A. Las magnitudes negativas se ligan a una lógica previa, y pueden verse postergadas de modo indefinido mientras reine cierta ontología, o reconocerse desde siempre allí donde el lugar de la identidad es ocupado por una idea de oposición fluida, articulada en torno a un centro hueco como el Tao.

En su perspectiva, y en su pormenor, los primeros principios de Euclides, los trigramas del I Ching, o los ingeniosos expedientes del alejandrino Diofanto cuentan cosas sobre usos, componendas y, en general, concepciones del mundo. Unos, dados a lo práctico, carecen de «palabras vacías» -nombre que dan los matemáticos chinos a conceptos abstractos-, mientras otros insisten en trazarse tantos aprioris como les sea posible; otros, por último, se comportan eclécticamente, al estilo helenístico, amando de igual modo la norma regulativa genérica y el expediente que se revela útil. Aquello transhistórico por principio, lo neutro o imparcial en sí, arrastra siempre un universo de determinaciones adicionales ligado a la idiosincrasia de cada época, a la sombra de algunos individuos geniales y a una constelación favorable de circunstancias26.

Pero no hace falta recurrir a civilizaciones o épocas distintas para llegar a una relatividad. La matemática occidental lleva siglo y medio sumida en una crisis de fundamentos, que solo recientemente -y gracias en buena medida a la emergencia del nuevo paradigma- ha experimentado signos de alivio. Ya en 1826 -el mismo año en que Bolyai y Lobachevsky descubren la primera geometría no euclidiana -el noruego Abel, gran teórico de las ecuaciones en su tiempo, escribía:

Es incuestionable la tremenda oscuridad que encuentra uno en el análisis. Carece de todo plan y sistema, y el hecho de que tantos hayan podido estudiarlo es notable. Lo peor del caso es que nunca ha sido tratado rigurosamente. En todas partes encuentra uno esa triste manera de concluir lo general partiendo de lo especial 27.

Hasta entonces se daba por supuesto que la geometría de Euclides constituía la idea del mundo real, y que sus operaciones permitían representar imparcialmente objetos y hechos físicos. Esto va haciéndose cada vez menos sostenible, a medida que la matemática deja de vincularse a una precisa aplicación (explicar los fenómenos naturales), y aventurándose en altos vuelos como la teoría de conjuntos y números transfinitos. En vez de descansar sobre una practicidad, se entiende que tiene su esencia «en la libertad» (Cantor) y en «el honor del espíritu humano» (Jacobi), giro que viene a asumir dos evidencias básicamente nuevas: 1) matemática y verdad de la naturaleza son cosas distintas; 2) las estructuras más abstractas y arbitrarias suelen acabar resultando sumamente útiles para físicos y otros científicos naturales; sin ir más lejos, el tratado sobre las secciones cónicas -obra de Apolonio de Perga, un geómetra de la época helenística-, inicialmente dirigido a euclidianos exquisitos, se convirtió en manual para balísticos del Renacimiento como Tartaglia y, poco después, en base inmediata de la dinámica newtoniana.

La matemática heredaba así el compromiso de la metafísica, al ritmo en que la ciencia natural iba asumiendo el de superar cualquier fe. Pareció imprescindible entonces poner rigor en la casa propia -sin seguir concluyendo «lo general a partir de lo especial»-, una empresa asumida por Cauchy y sus sucesores, aunque el propio esfuerzo por aclarar, sistematizar y pulir suscitó nuevas grietas en los cimientos. Ya no había una frontera nítida entre lo lógico y lo ilógico, porque no se cumplía el comportamiento esperado de funciones y series; unidad, simetría, completitud -exigencias tenidas por mínimas- se estrellaban con una pléyade de extraños descubrimientos (curvas continuas pero no diferenciables, series de funciones continuas con suma discontinua, o faltas de monotonía a trozos, «mostruos» de otros varios tipos), y algunos entendieron que la respuesta racional sería axiomatizar la matemática en general.

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Axioma, que significa «dignidad» y «pretensión» en griego clásico, es otra de las palabras transformadas por Aristóteles en concepto científico, y se emplea a partir de entonces como principio deductivo o postulado inicial de cierto saber27, que se apoya sobre su autoevidencia. En contraste con lo profundo, lo complejo o lo denso, el axioma ha de ser transparente y supremamente sencillo. Prestar rigor al saber matemático exigía poder deducir cualesquiera teoremas de axiomas previos (como «todo número natural tiene un y solo un sucesor», «dos puntos distintos generan una y solo una recta», etc.), y a ello se aplicaron ciertos teóricos con ahínco, pensando que si la empresa era coronada por el éxito habría una ciencia «llamada a guiar todo conocimiento»29.

En otro caso cundiría el escepticismo, fruto de «al menos tantas dudas como en cualquier otra parte de la filosofía», dice un joven Bertrand Russell30. Esa mezcla de temor (a lo que Russell llama «confusión y prepejlidad reinante») y de optimismo ante el camino emprendido) se retrotrae a Frege, para el cual los axiomas son «piedras angulares, establecidad según un fundamento eterno, alcanzables pero no modificables por la mente humana»31. No obstante, lo temible venía del propio progreso, pues con la poderosa teoría de conjuntos -una nocion que Cantor definió originalmente como «colecciones de objetos distintos de nuestra intuición o pensamiento»- habían irrumpido varias contradicciones, presentadas eufemísticamente como paradojas. De ahí que no debiera usarse ninguna propiedad de los conjuntos, sugirió Zermelo en 1908, si no estuviera garantizada por un axioma.

In fieri.

 

NOTAS

25 Cfr. Lizcano, 1993.

26 Cfr. Lizcano, 1993.

27 En Kline, 1992, vol. III, págs. 1250 y 1251.

28 Aristóteles menciona «ser imposible que una cosa sea y no sea al mismo tiempo», y «algo ha de ser o bien afirmado o bien negado». (Metafísica B, 2, 996b 28-997a 11).

29 Hilbert, Axiomatisches Denken; cfr. Kline, 1992, vol. III, pág. 1354.

30 Russell, 1901, pág. 79.

31 Frege, 1893, pág. 16.

 

© Antonio Escohotado
Caos y Orden, 1999. Pág. 100-103
http://www.escohotado.org



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